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SISTEMA DE ECUACIONES DE GAUSS JORDAN

SISTEMA DE ECUACIONES

DEFINICION:En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

ANALISIS DE COMPLEJIDAD
La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.
ALGORITMO DE ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN
1.Ir a la columna no cero extrema izquierda

2.Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga

3.Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él

4.Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)

5.Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) asi para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

MATRICES Y DETERMINANTES.

Matrices. Operaciones con matrices. Tipos especiales de matrices: matrices inversibles, matrices simétricas, antisimétricas, ortogonales, matrices escalonadas. Operaciones elementales de fila. Equivalencia por filas. Matrices elementales y forma canónica por filas. Cálculo de la inversa mediante operaciones elementales de fila. Dependencia e independencia lineal: rango de una matriz. Determinante de una matriz: desarrollo de Laplace. Propiedades de los determinantes. Cálculo del determinante mediante el método de Gauss. Cálculo del rango mediante determinantes. Cálculo de la matriz inversa mediante adjuntos. Teorema de Rouché-Frobenius. Fórmula de Cramer. Soluciones de un sistema compatible indeterminado.
ALGUNAS APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y LAS MATRICES.

Ajuste de reacciones químicas. Distribución de las temperaturas en equilibrio. Ecuaciones lineales y redes eléctricas. Ecuaciones en diferencias: movimientos de poblaciones y cadenas de Markov. Interpolación polinomial. Aproximación polinomial por mínimos cuadrados.
.MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Comparación de la complejidad computacional de los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Teoría de errores. Métodos directos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Técnicas de pivotación en el método de Gauss, métodos de factorización LU, Doolittle, Crout y Cholesky. Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Richardson, método de Jacobi y método de Gauss-Seidel. Sistemas mal condicionados. Número de condición de una matriz.

EJEMPLOS

EJEMPLOS

1. Para el siguiente sistema de ecuaciones encuentra:

r + s + t = 2
- r - s + 3t = 6
2r + s – t = -1
a) La matriz aumentadab) El sistema homogéneo asociado



A.= 1 1 1
-1 -1 3 x=r b=2

2 1 -1 s 6

t,y -1

Entonces, la matriz aumentada “B” es:
B.= 1 1 1

-1-1 3

2 1 -2

b) El sistema homogéneo asociado es

r + s + t = 0
-r - s + 3t = 0
2r + s – t = 0

BIOGRAFIA DE GAUSS JORDAN

BIOGRAFIA

GAUSS JORDAN

Es fundamental mencionar que el nombre del Instituto es la combinación de los apellidos de dos célebres matemáticos, uno es el francés Carl Friedrich Gauss y el otro es el alemán Maurice Jordan, cuyas contribuciones han impulsado el campo de la Geometría, el cálculo y las matemáticas financieras.

CARL FRIEDRICH GAUSS

A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la teoría de los números, la ley de la reciprocidad cuadrática.En su tesis Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra.Las matemáticas no fueron el único tema que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas

En 1833, inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético.

A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. En la lápida que señala su tumba hay un diagrama, construido por el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Fue llamado el príncipe de las matemáticas.

MAURICE ENNEMOND CAMILLE JORDAN

Desarrolló también importantes conceptos matemáticos, como el del grupo cociente, los homomorfismos y las sucesiones de subgrupos; definió las sucesiones de Jordan-Hölder y, en topología, enunció el teorema de la separación de Jordan-Hölder.Se distinguió como propulsor de la geometría de n dimensiones y por sus estudios sobre la teoría de la curvatura de las curvas y la de Euler sobre la curvatura de las superficies.

EJERCICIOS

EJERCICIOS

ejercicio nº1

Resuelve e interpreta geometricamente el sistema

-x+3y-z=4

x+4y=5

2x-6y+2z=3

ejercicio nº2

Resuelve por el metodo de gauss, los sistemas:

A.-3x+y-z=-4 B.x+2y+z+t=3

5X-2Y+Z=6 -x+y+2t=-1

-X+Y+3Z=0 -x+7y+2z+8t=1

ejrcicio nº3

En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?

b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

ejrcicio nº4

Utiliza el metodo de gauss para resolver los sistemas:

A.4x+y-2z=-3 B.-x+y-z=-2

3x-y+4z=-2 x-y+2z=4

-+y+z=5 x+z+t=3

x+2z+t=1

ejercicio nº5

En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.

b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

ejercicio nº6

a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:

3x-2y+4z=6

-2x+4y-z=3

x+2y+3z=1

b) ¿Podríamos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Razónalo.

BUENA SUERTE!!!