miércoles, 14 de octubre de 2009

SISTEMA DE ECUACIONES DE GAUSS JORDAN

SISTEMA DE ECUACIONES
DEFINICION:En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en
procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico
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ANALISIS DE COMPLEJIDAD
La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.
ALGORITMO DE ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN
1.Ir a la columna no cero extrema izquierda

2.Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga

3.Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
4.Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
5.Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) asi para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

MATRICES Y DETERMINANTES.

Matrices. Operaciones con matrices. Tipos especiales de matrices: matrices inversibles, matrices simétricas, antisimétricas, ortogonales, matrices escalonadas. Operaciones elementales de fila. Equivalencia por filas. Matrices elementales y forma canónica por filas. Cálculo de la inversa mediante operaciones elementales de fila. Dependencia e independencia lineal: rango de una matriz. Determinante de una matriz: desarrollo de Laplace. Propiedades de los determinantes. Cálculo del determinante mediante el método de Gauss. Cálculo del rango mediante determinantes. Cálculo de la matriz inversa mediante adjuntos. Teorema de Rouché-Frobenius. Fórmula de Cramer. Soluciones de un sistema compatible indeterminado.
ALGUNAS APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y LAS MATRICES.

Ajuste de reacciones químicas. Distribución de las temperaturas en equilibrio. Ecuaciones lineales y redes eléctricas. Ecuaciones en diferencias: movimientos de poblaciones y cadenas de Markov. Interpolación polinomial. Aproximación polinomial por mínimos cuadrados.
.MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Comparación de la complejidad computacional de los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Teoría de errores. Métodos directos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Técnicas de pivotación en el método de Gauss, métodos de factorización LU, Doolittle, Crout y Cholesky. Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Richardson, método de Jacobi y método de Gauss-Seidel. Sistemas mal condicionados. Número de condición de una matriz
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